Introducción: Este tema se basa en la
aplicación del fenómeno del efecto Magnus a un problema práctico, con el cual
se espera arribar a una conclusión novedosa en los intercambios de energía que
se producen entre el dispositivo y su entorno.
La aplicación consiste en limitar la acción de un
cilindro rotante a un desplazamiento lineal en la dirección de la fuerza de
Magnus Lx inducida por el viento de velocidad Vy. El cilindro posee un radio R
y una altura H.
Como se sabe, el efecto Magnus es otra manera de
obtener una fuerza normal a la dirección del viento incidente, produciendo una
rotación permanente del cilindro sobre su eje de manera de provocar una
asimetría en el flujo de aire que rodea al cilindro, con lo cual se obtiene un
efecto similar al que aparece en un perfil de ala de avión, en el que la
asimetría es producida por la especial forma del perfil.
Funciones
aplicables al problema:
Va=
√(〖Vx〗^2+〖Vy〗^2 )
α = 〖tan〗^(-1)〖(Vy/Vx〗)
sin(α)= Vy/√(〖Vx〗^2+〖Vy〗^2 )〗=Vy/Va
cos(α)= Vx/√(〖Vx〗^2+〖Vy〗^2 )〗=Vx/Va
Fx=L sin α-D cosα-Cf.L.cosα-Cf.D.sinα=
=L.(sinα-Cf.cosα)-D.(cosα+Cf.sinα) (1)
Donde Cf es el
coeficiente de fricción del desplazamiento lineal.
Pero:
L=Cl.ρ/2 (2RH).〖Va〗^2=π/(1.3).ωR/Va.ρ.R.H.〖Va〗^2=π/(1.3).ωR.ρ.R.H.Va
D=Cd.ρ/2 (2RH).〖Va〗^2= π/10.ωR/Va.ρ.R.H.〖Va〗^2=π/10. ωR.ρ.R.H.Va
Considerando
que:
Cl=π/(1.3).ωR/Va y Cd=π/10.ωR/Va
Los coeficientes
π/1.3 y π/10, son aproximaciones
lineales de las curvas obtenidas para Cl y Cd con los datos de laboratorio de
la NT Nº209 de NACA, que permitieron su
tratamiento gráfico, que se acompaña en el ANEXO, y la aplicación del principio de superposición de los efectos en este
desarrollo.
Por lo tanto,
reemplazando en (1):
Fx=π/(1.3).ωR.ρ.R.H.Va.(Vy/Va-Cf Vx/Va)-
-π/10. ωR.ρ.R.H.Va(Vx/Va+Cf Vy/Va)=
-π/10. ωR.ρ.R.H.Va(Vx/Va+Cf Vy/Va)=
= π/(1.3). ωR.ρ.R.H.(Vy-CfVx)-π/10. ωR.ρ.R.H.(Vx+CfVy)
Finalmente:
Fx=π.ρ.ω.R^2.H(Vy.(1/(1.3)-Cf/10)-Vx.(1/10+Cf/(1.3)))
Luego, la
potencia útil será:
PU=Fx.Vx
PU=π/13.ρ.ω.R^2.H.(Vx.Vy.(10-1.3Cf)-〖Vx〗^2.(1.3+10Cf))
Derivando PU respecto a Vx e igualando a cero:
π/13.ρ.ω.R^2.H.(Vy.(10-1.3Cf)-2Vx.(1.3+10Cf))=0
Despejando Vx:
Vxm=Vy/2.((10-1.3Cf))/((1.3+10Cf))
se obtiene así la velocidad de avance lineal del cilindro que
hace máxima la potencia útil.
Luego
PUm=π/13.ρ.ω.R^2.H.(1/2 〖Vy〗^2 (10-1.3Cf)^2/((1.3+10Cf) )-1/4 〖Vy〗^2 (10-1.3Cf)^2/((1.3+10CF) ))
Es la potencia
útil máxima obtenida.
Haciendo
k=(10-1.3Cf)^2/((1.3+10Cf) )
es:
Por otra parte
la potencia disponible en el viento es:
Pv=1/2ρ.2RH.〖Vy〗^3
Y la potencia
necesaria para la rotación del cilindro es:
Pcil=1/2.ρ.Cr.2πRH.〖(ωR)〗^3
Con Cr
coeficiente de fricción en la superficie del cilindro
Luego el rendimiento
η del sistema a velocidad Vxm es igual a:
η=PUm/(Pv+Pcil)
η=(π/52.ρ.ω.R^2.H.〖k.Vy〗^2)/(1/2 ρ.2RH.〖Vy〗^3+1/2.ρ.Cr.2πRH.〖(ωR)〗^3 )
Sacando factor
común
en denominador, y haciendo
r=ωR/Vy
es: η=(π/52.ρ.r.R.H.k)/(1/2 ρ.2RH+1/2.ρ.Cr.2πRH.〖(r)〗^3 )= (π.r.k)/52)/(1+π.Cr.〖(r)〗^3 )
Que es función
de
Representando
la función ή con Cf= 0.002 y Cr= 0.005, se obtiene el siguiente gráfico:
Del gráfico se
deduce que el máximo rendimiento se obtiene con una relación r= 3
aproximadamente, para este caso. Tal abscisa y las ordenadas del gráfico,
dependerán finalmente de los valores de Cf y Cr que se adopten para el
prototipo.
Conclusiones:
El resultado
muestra un rendimiento del sistema viento cilindro rotante, que es mayor que la
unidad, es decir, que la potencia obtenida en el desplazamiento del cilindro es
mayor que las involucradas en el viento y la rotación del cilindro.
Este hecho
revelaría la participación de otra fuente de energía aparte del viento y la de rotación,
que no puede ser otra que la atmósfera misma en la cual está inserto el
cilindro.
Si admitimos
tal conclusión, el aire debería ser considerado una fuente de energía en su
condición física estática, que para ser convertida en este caso requiere una energía
de excitación que es producida por el viento y la rotación del cilindro.
ANEXO
En el gráfico anterior se han linealizado las curvas
reales de Cl y Cd, con las pendientes
y
respectivamente, para simplificar
el cálculo.
Las curvas reales para Cl y Cd surgen de graficar las
tablas de valores de la NT N° 209 de NACA,
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